GİZEMLİ BİR SAYI: KAPREKAR SABİTİ

Matematik tarihinin başlangıcından günümüze kadar sayılara pek çok özellik yüklenmiş, üstelik bu özellikle­rin birçoğu rastlantıyla bulunmuştur. Bir sayı ile fark edilip tanımlanan özellik önce ona uyan diğer sayıları aramaya, devamında da bu tür sayıların davranışlarını incelemeye itmiştir matematikçileri.

Size bu yazıda böyle bir sayıdan, Kaprekar sabitinden bahsedelim…


D. R. Kaprekar 1949’da şöyle bir gözlem yaptı: Öyle bir n basamaklı t sayısı olsun ki bu sa­yının karesini alıp (t2) sağdaki n basa­mağı solda kalan n veya n-1 basamağa ekleyince sonuç yine t sayısını versin.

Bu özelliği sağlayan sayılar da Kaprekar sayıları olarak adlandırıldı devamında.

Örneğin 45 sayı­sını ele alalım: 45, 2 basamaklı bir sayı 452 = 2025 sağdan 2 basamak 25, sol­dan 2 basamak 20. Bu ikisinin toplamı da 20 + 25 = 45 yani sayının kendisi.

Diğer bir örnek 173442 = 300814336, sağdan 5 basamak ve kalan 4 basama­ğın toplamı: 3008 + 14336 = 17344.

Gerçekten ilginç değil mi?

Hazır Kaprekar sayılarından söz aç­ılmışken, bu sayılarla pek ilgisi olmayan, ama adını yine aynı kaynaktan alan Kaprekar sabitinden bahsetmeden geç­mek olmaz.

Bir sayı tutmakla başladığımız oyunlar hep ilginç bir sona ulaştırır bi­zi; hesaplarda bir hata yapmazsak ta­bii.



Önce 4 basamaklı bir sayı tutalım: 4564.

Sonra onu basamaklarının sayı değer­lerinin artış ve azalışına göre sıralayıp yeni iki sayı üretelim: 6544 ve 4456 Şimdi büyükten küçüğü çıkaralım: 6544 – 4456 = 2088 Aynı işlemleri çıkan sayı için de tekrar­layalım:

8820 – 0288 = 8532

8532 – 2358 =6174

İşte bu 6174 sayısı Kaprekar sabiti olarak bilinir.

Herhangi 4 basamaklı bir sayı için bu işlemler serisini (en fazla 7 kez) yaptığı­nızda ya 0 sonucuna ya da 6174 sonu­cuna ulaşıp kısır bir döngüye girersi­niz. Kaprekar’ın 1949’da yaptığı bu gözlemden sonra matematikçilerin ne­yin peşinden koştuğunu tahmin etmek artık zor değil.

4 basamaklı sayılar ha­ricindekiler için bu işlemler nasıl sonuç veriyor? Bunun yanıtı şöyle: So­nuç ya 0 oluyor, ya sabit bir sayıya ula­şılıyor ya da kısır bir döngüye giriliyor.

Örneğin 6 basamaklılar için 549945 sa­bit sayısına ulaşılıyor ama 5 basamaklı­lar için birden fazla sabit mevcut.

Bun­ların yanısıra kaç basamaklı bir sayı için en fazla kaç işlem yapıldığı da araştırmaların merak konusu.

Son olarak, Kaprekar; Kaprekar Sabitini sayılar teorisine kazandırmış olmasına rağmen kendisinin formal bir matematik eğitimi yoktu.

Bir matematik öğretmeni ya da matematik çalışmaları yapan birisi de değildi. O sadece sayılarla oynamayı seven oldukça zeki bir dünya vatandaşıydı.

Önemli olan merak, devamı zaten kendiliğinden gelecektir…